【初中数学】BS版七年级下册 第一章 整式的运算

一. 整式

1. 单项式

①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.

③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

2.多项式

①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.

②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.

3.整式单项式和多项式统称为整式.

二. 整式的加减

¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.

¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.

三. 同底数幂的乘法

※同底数幂的乘法法则:

(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为

其中m、n、p均为正数）

⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）

四．幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方法则：

(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.

2. （m、n均为正整数）

3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

如将（-a）³化成-a³

4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

5．要注意区别（ab）ⁿ与（a+b）ⁿ意义是不同的，不要误以为（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ（a、b均不为零）。

6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，即

（n为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

五. 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即

(a≠0,m、n都是正数,且m>n).

2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如

(-2.5⁰=1),则0⁰无意义.

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即

( a≠0,p是正整数), 而0^-1,0^-3都是无意义的;当a>0时,a^-p的值一定是正的; 当a<0时,a^-p的值可能是正也可能是负的,如

④运算要注意运算顺序.

六. 整式的乘法

1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2．单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

3．多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘

其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到

七．平方差公式

1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，

即

决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现

这样的错误。

九．整式的除法

1．单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

2．多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。