【初中数学】BS版九年级上册 第四章 图形的相似

 第四章 图形的相似

一、成比例线段 

1.定义： 

（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成^AB/_CD=^m/_n. 

（2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即^a/_b=^c/_d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 

2.定理： 

如果^a/_b=^c/_d==^m/_n(b+d++n≠0), 

那么^（a+c+m）/_(b+d++n)=^a/_b

二、平行线分线段成比例 

1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 

2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。  

三、相似多边形 

定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。  

四、探索三角形相似的条件 

1.两角分别相等的两个三角形相似。 

2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 

3.三边成比例的两个三角形相似。 

4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果^AC/_AB=^BC/_AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。  

五、相似三角形判定定理的证明 

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。(此定理用的最多) 

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。  

六、利用相似三角形测高 

1.利用阳光下的影子 

2.利用标杆 

3.利用镜子的反射  

七、相似三角形的性质 

1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 

2.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。  

八、图形的位似 

定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。